Наберите в окне «Искать на Грамоте» знак звездочки и зор.
Правильно: чемпионат мира, Кубок мира.
Верно: новокузнецкий «Азот».
Правильно: история Древнего мира и Средних веков.
Правильно: тканый узор (т. е. узор, который был выткан).
Правильно: чемпионат мира, чемпионат Европы, чемпионаты мира и Европы.
Возможные варианты: любимой экранизации романа "Война и мир" и любимой экранизации "Войны и мира".